Fonctions exponentielles de base a - Activité

Prérequis   Maîtriser le cours sur la notation \(a^{\frac{1}{n}}\) .

En hiver, une tasse de thé est préparée à une température de 80 °C puis laissée à l'extérieur où la température est de 0 °C. On s'intéresse à l'évolution de la température \(T\) de la tasse au cours du temps.

Partie A   Modélisation discrète

La température de la boisson est mesurée toutes les 5 minutes. Soit \(T_n\) la température du thé, exprimée en degré Celsius, lors de la \(n\) -ième mesure.

La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser l'évolution de la température \(T_n\) . Elle  stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. Dans les conditions de l'expérience, elle s'écrit pour tout entier naturel \(n\) :

                                                    \(\dfrac{T_{n+1}-T_n}{T_n}=-0{,}63.\)

1. Démontrer que la suite `(T_n)` est une suite géométrique de raison \(q= 0{,}37\) .

2. Exprimer `T_n` en fonction de `n.` Selon ce modèle, quelle est la température du thé au bout de 15 minutes ?

3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite `(T_n)` . Permet-elle de lire  la  température du thé au bout d'une minute dans le froid ? Pourquoi ?

4. Après avoir imprimé cette représentation graphique, construire  une courbe passant par les points repérés. En déduire une valeur approchée de \(T_{\frac{1}{5}}\) , température du thé au bout d'une minute.

5. Expliquer pourquoi  \(​T_{\frac{1}{5}}=T_0\times(0{,}37)^{\frac{1}{5}}\) . Est-ce cohérent avec le résultat obtenu à la question précédente ?

Partie B   Modélisation continue

Dans cette partie, on pose : \((0{,}37)^{\frac{1}{5}}\simeq 0{,}82\) .

1. En reprenant la méthode de la question A.5, prouver que la température du thé au bout d'une seconde d'exposition au froid est approximativement égale à : \(80\times(0{,}82)^{\frac{1}{60}}\) .

2. On dispose d'un thermomètre électronique permettant d'enregistrer en continu la température du thé. Que représente alors la fonction  `f` définie par  \(f(x)=80\times(0{,}82)^{x}\) ?

3. On a représenté ci-dessous la courbe représentative de \(f\) sur l'intervalle \([0~;+\infty[\) , ainsi que les premiers termes de la suite `(T_n)` . Que peut-on constater ?